Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，；
（1）求a_n；
（2）令，，求{c_n}的前n项和T_n；
（3）令（λ、q为常数，q＞0且q≠1），c_n=3+n+（b₁+b₂+…+b_n），是否存在实数对（λ、q），使得数列{c_n}成等比数列？若存在，求出实数对（λ、q）及数列{c_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由此可知a_n=2n（n∈N^*）．
（2）由题意知c₁=b₆=b₃=a₃=6，c₂=b₈=b₄=b₂=b₁=a₁=2，所以，由此可知．
（3）由题设条件知得，由此可以推导出存在，．
解答：解：（1），
∵a₁＞0，∴a₁=2；
当n≥2时，，
，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，∴{a_n}为等差数列，（2分）
∴a_n=2n（n∈N^*）；（4分）
（2）c₁=b₆=b₃=a₃=6，c₂=b₈=b₄=b₂=b₁=a₁=2，（6分）
n≥3时，，（8分）
此时，T_n=8+（2²+2）+（2³+2）+（2^n-1+2）=2ⁿ+2n；
∴；（10分）
（3），
令，（14分）
∴存在，．（16分）
点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．