Question

【题目】已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）已知，，（）是函数图像上的两点，证明：存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）当时，恒成立，所以在上单调递减.当时，当 时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增；

（2）见解析.

【解析】

（1），分类讨论函数的单调性；

（2），，

令，

则

令，讨论其单调性可知 ，即.

从而，.

又，.

所以，.

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，由零点存在性定理可得结论.

（1）因为，

所以，

当时，恒成立，所以在上单调递减.

当时，，得

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增.

（2）证明：，，

令，

则

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

故当时，，即.

从而，.

又，.

所以，.

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在，

使得，即存在，使得.