Question

不等式(

1

2

)x2+ax＜(

1

2

)2x+a-2恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：本题从形式上看是一个指数复合不等式，外层是指数型的函数，此类不等式的求解一般借助指数的单调性将其转化为其它不等式，再进行探究，本题可借助y=(

1

2

)x这个函数的单调性转化．转化后不等式变成了一个二次不等式，再由二次函数的性质对其进行转化求解即可．

解答：解：由题意，考察y=(

1

2

)x，是一个减函数
∵(

1

2

)x2+ax＜(

1

2

)2x+a-2恒成立
∴x²+ax＞2x+a-2恒成立
∴x²+（a-2）x-a+2＞0恒成立
∴△=（a-2）²-4（-a+2）＜0
 即（a-2）（a-2+4）＜0
 即（a-2）（a+2）＜0
 故有-2＜a＜2，即a的取值范围是（-2，2）
 故答案为（-2，2）

点评：本题考点是指数函数单调性的应用，考查利用单调性解不等式，本题是一个恒成立的问题，此类问题求解的方法就是通过相关的知识进行等价、灵活地转化，变成关于参数的不等式求参数的范围，这是此类题求解的固定规律，题后应好好总结本题的解题思路及其中蕴含的知识规律与技巧规律．