Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

1+nan

，求a_n．

Answer 1

分析：此题将递推关系式a_n+1=

an

1+nan

变形，可化简为

1

an+1

-

1

an

=n，进而由数列求通项的方法，即迭加法即可求出a_n．

解答：解：a_n+1=

an

1+nan

可化为

1

an+1

-

1

an

=n，
∴

1

a2

-

1

a1

=1，

1

a3

-

1

a2

=2，

1

a4

-

1

a3

=3，…，

1

an

-

1

an-1

=n-1．
相加得

1

an

-

1

a1

=1+2+…+（n-1），又a₁=1，所以整理得a_n=

2

n2-n+2

．
所以数列{a_n}的通项公式a_n=

2

n2-n+2

．

点评：本题主要考查利用迭加法求数列的通项公式；而对于像这种求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列条件来求通项公式时，除迭加、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列．对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律．