Question

学习了圆锥曲线及其方程后，对于一个一般的二元二次方程：Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0（A，C，D，E，F为常数），请你写出一个它分别表示
①直线； ②圆； ③椭圆； ④双曲线； ⑤抛物线的必要条件．

Answer 1

分析：①方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示直线，必有A=C=0，D，E不全为零； 或A•C＜0，D，E，F全为零，利用充要条件的判定方法判定即可．
②方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示圆，必有A=C≠0，B=0并且D²+E²-4F＞0，利用充要条件的判定方法判定即可．
③方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示椭圆，必有A•C＞0， A≠C，

D2

4A2

+

E2

4C2

-F＞0，利用充要条件的判定方法判定即可．
④方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示双曲线，必有A•C＜0，

D2

4A2

+

E2

4C2

-F≠0，利用充要条件的判定方法判定即可．
⑤方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示抛物线，必有A=0且CD≠0； 或C=0且AE≠0，利用充要条件的判定方法判定即可．

解答：解：①方程表示直线，其二次项系数必为0或可分解成两个一次因式的积的形式，故其必要条件：A=C=0，D，E不全为零； 或A•C＜0，D，E，F全为零；
②方程表示圆，其二次项系数必须相等且不为0，故其必要条件：A=C，D²+E²-4AF＞0；
③方程表示椭圆其二次项系数必须同号，故必要条件：A•C＞0， A≠C， 

D2

4A2

+

E2

4C2

-F＞0；
④方程表示双曲线其二次项系数必须异号，故必要条件：A•C＜0，

D2

4A2

+

E2

4C2

-F≠0；
⑤方程表示抛物线其二次项系数必须有一个为0，另一个不为0，故必要条件：A=0且CD≠0； 或C=0且AE≠0．

点评：本题考查二元二次方程表示①直线； ②圆； ③椭圆； ④双曲线； ⑤抛物线的条件，充要条件的判定方法．是基础题．