Question

求与双曲线

x2

2

-y2=1有两个公共焦点，且过点P(

3

，2)的圆锥曲线的方程．

Answer 1

分析：先通过双曲线

x2

2

-y2=1方程求出圆锥曲线两个焦点，再分椭圆与双曲线两中情况分别求解．

解答：解：双曲线

x2

2

-y2=1的焦点F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
（1）设圆锥曲线为椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
则

a2-b2=3(焦距为2 3 ) 3 a2 + 4 b2 =1(过点P( 3 ，2))

⇒

a2=9 b2=6

椭圆方程为：

x2

9

+

y2

6

=1
（2）设圆锥曲线为双曲线

x2

p2

-

y2

q2

=1（p＞0，q＞0）
则

p2+q2=3(焦距为2 3 ) 3 p2 - 4 q2 =1(过点P( 3 ，2))

⇒

p2=1 q2=2

双曲线方程为：x2-

y2

2

=1

点评：本题考查圆锥曲线的标准方程，及简单几何性质．一般用待定系数法．