Question

【题目】已知函数f（x）=-，若x∈R，f（x）满足f（-x）=-f（x）．

（1）求实数a的值；

（2）判断函数f（x）（x∈R）的单调性，并说明理由；

（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-4t）+f（-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）根据f（-x）=-f（x）代入求得a的值； （2）f（x）是定义域R上的单调减函数，利用定义证明即可； （3）根据题意把不等式化为t2-4t＞k，求出f（t）=t2-4t的最小值，即可得出k的取值范围．

（Ⅰ）函数f（x）=-，x∈R，且f（-x）=-f（x），
∴-=-+，
∴a=+=+=1；
（Ⅱ）f（x）=-是定义域R上的单调减函数，证明如下：
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（-）-（-）=-=，
由（+1）（+1）＞0，当x1＜x2时，＜，
∴-＞0，∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）是定义域R上的单调减函数；
（Ⅲ）对任意的t∈R，不等式f（t2-4t）+f（-k）＜0恒成立，
则f（t2-4t）＜-f（-k）=f（k），
根据f（x）是定义域R上的单调减函数，得t2-4t＞k，
设f（t）=t2-4t，t∈R，则f（t）=（t-2）2-4≥-4，
∴k的取值范围是k＜-4．