Question

【题目】已知函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）=．

（1）求a，b的值；

（2）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为1，最大值为4，列出方程可得实数a，b的值； （2）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量k，在x∈[1，2]上恒成立，进而得到实数k的取值范围．

(1）∵函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x=2，
函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，
∴，
解得：a=3，b=12；
（2）由（Ⅰ）得：f（x）=3x2-12x+13，g（x）==．
若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，
则k≤（）2-2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，
2x∈[2，4]，∈[，]，当=，即x=1时，（）2-2（）+1取最小值，
故k≤．