题目内容

已知向量 $数学公式$ =（ $数学公式$ sin $数学公式$ ，1）， $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，cos² $数学公式$ ），函数f（x）= $数学公式$ ．
（1）若f（x）=1，求cos（ $数学公式$ -x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+ $数学公式$ c=b，求f（B）的取值范围．

解：（1）由题意得：函数f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =sin（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
若 f（x）=1，可得 sin（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
则 cos（ $\text{[math]}$ -x）=2 $\text{[math]}$ -1=2 $\text{[math]}$ -1=- $\text{[math]}$ ．
（2）由acosC+ $\text{[math]}$ c=b可得 a• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ c=b，即 b²+c²-a²=bc．
∴cosA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴A= $\text{[math]}$ ，B+C= $\text{[math]}$ ．
∴0＜B＜ $\text{[math]}$ ，0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜sin（ $\text{[math]}$ ）＜1，
∴f（B）=sin（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ∈（1，3）．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）=sin（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，由 f（x）=1，可得 sin（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，再利用二倍角公式求得cos（ $\text{[math]}$ -x）的值．
（2）由acosC+ $\text{[math]}$ c=b利用余弦定理可得 cosA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出 A= $\text{[math]}$ ，B+C= $\text{[math]}$ ．再由 $\text{[math]}$ 的范围求出f（B）=sin（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ 的范围．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，余弦定理和诱导公式、二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．