题目内容
已知圆C的方程为x2+y2=4，动点P满足：过点P作直线与圆C相交所得的所有弦中，弦长最小的为2，记所有满足条件的点P形成的几何图形为曲线M．（1）写出曲线M所对应的方程；（不需要解答过程）
（2）过点S（0，2）的直线l与圆C交于A，B两点，与曲线M交于E，F两点，若AB=2EF，求直线l的方程；
（3）设点T（x，y）．
①当y=0时，若过点T存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，求实数x的取值范围；
②若过点T存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，试探求实数x，y应满足的条件．
【答案】分析：（1）由于过点P作直线与圆C相交所得的所有弦中，弦长最小的为2，所以满足条件的点P形成的几何图形是以O为圆心，
为半径的圆，从而可求曲线M所对应的方程；
（2）分类讨论：当斜率不存在时，结论不成立；当斜率存在时，假设直线方程为y=kx+2，利用圆心到直线的距离，结合AB=2EF，可求直线l的方程；
（3）①假设存在，要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径，故可建立不等关系，从而可求；②根据①的探究方法，结合图形，可得结论．
解答：解：（1）由题意，∵过点P作直线与圆C相交所得的所有弦中，弦长最小的为2，
∴满足条件的点P形成的几何图形是以O为圆心，
为半径的圆
∴曲线M所对应的方程为：x2+y2=3
（2）当斜率不存在时，结论不成立
当斜率存在时，假设直线方程为y=kx+2，圆心到直线的距离为
由题意AB=2EF，∴
，
∴
∴直线l的方程为
；
（3）①不妨假设一条直线方程为y=k（x-x）（k＞0），则另一条直线方程为
要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径
∴
，
∴-2＜x＜2
②不妨假设一条直线方程为y-y=k（x-x）（k＞0），则另一条直线方程为
要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径
由①探求可知，点T必须在圆的内部，此时才能始终存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点
∴x2+y2＜4
点评：本题的考点是直线与圆的方程的应用，主要考查求解直线与圆的方程，解题时应主要分类讨论，否则会漏解．
为半径的圆，从而可求曲线M所对应的方程；（2）分类讨论：当斜率不存在时，结论不成立；当斜率存在时，假设直线方程为y=kx+2，利用圆心到直线的距离，结合AB=2EF，可求直线l的方程；
（3）①假设存在，要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径，故可建立不等关系，从而可求；②根据①的探究方法，结合图形，可得结论．
解答：解：（1）由题意，∵过点P作直线与圆C相交所得的所有弦中，弦长最小的为2，
∴满足条件的点P形成的几何图形是以O为圆心，
为半径的圆∴曲线M所对应的方程为：x2+y2=3
（2）当斜率不存在时，结论不成立
当斜率存在时，假设直线方程为y=kx+2，圆心到直线的距离为
由题意AB=2EF，∴
，∴
∴直线l的方程为
；（3）①不妨假设一条直线方程为y=k（x-x）（k＞0），则另一条直线方程为
要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径
∴
，∴-2＜x＜2
②不妨假设一条直线方程为y-y=k（x-x）（k＞0），则另一条直线方程为
要使存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，则由圆心到直线的距离小于半径
由①探求可知，点T必须在圆的内部，此时才能始终存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点
∴x2+y2＜4
点评：本题的考点是直线与圆的方程的应用，主要考查求解直线与圆的方程，解题时应主要分类讨论，否则会漏解．
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