Question

求(x-1＋)⁵的展开式中含x的项．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：∵(x-1＋)5=[(x2-x)＋1]5, ∴要求展开式中含x的项，只需求[(x2-x)＋1]5中含x6的项． ∵[(x2-x)＋1]5＝(x2-x)＋5(x2-x)4＋10(x2-x)3＋10(x2-x)2＋5(x2-x)＋1， ∴只有(x2-x)5，5(x2-x)4与10(x2-x)3中才可能含有x6的项． 又(x2-x)5＝x5(x-1)5，展开式中x6的系数为C=5, 5(x2-x)4＝5x4(x-1)4，展开式中x6的系数为5C=30, 10(x2-x)3＝10x3(x-1)3，展开式中x6的系数为10． ∴原式的展开式中含x的项为(5＋30＋10)x＝45x． 解法二：∵(x-1＋)5=(x-1＋)·（x-1＋）·（x-1＋）·（x-1＋）·（x-1＋）, 由多项式的乘法法则，从以上5个括号中一个括号内出现x，其他四个括号出现常数项，则积为x的一次项，此时系数为C·1·C（-1）4=5． 同理，有两个括号出现x，一个括号出现,两个括号出现常数项，积也为x的一次项，此时系数为C=30,同理有3个括号出现x，2个括号出现,积也为x的 一次项，此时系数为C 综上，x的一次项为(5＋30＋10)x＝45x． 点评：此类问题通常有两个解法，化三项为二项及乘法法则，此题涉及到排列、组合知识的综合运用．