Question

在双曲线－＝－1的一支上有不同的三点A(x₁，y₁)，B(x₂，6)，C(x₃，y₃)，它们与焦点F(0，5)的距离成等差数列．

(1)求y₁＋y₃；(2)求证线段AC的垂直平分线经过一定点．

Answer 1

答案：
解析：

热点分析　　本小题使用焦半径公式； 　　(2)作差法求出AC斜率，从而表示出线段AC的垂直平分线． 　　解答　　(1)由定义得＝e，即|AF|＝e(y1－)＝ey1－a，同理|BF|＝ey2－a，|CF|＝ey3－a．又因为A，B，C与焦点F(0，5)的距离成等差数列，所以y1＋y3＝2y2＝12． 　　(2)将A(x1，y1)，C(x3，y3)代入方程后两式相减得(x1＋x3)(x1－x3)－(y1＋y3)(y1－y3)＝0，注意到y1＋y3＝12，∴kAC＝＝，∴AC垂直平分线的方程是y－＝－·(x－)，即 　　y－6＝－x＋，y＝－x＋， 　　∴线段AC的垂直平分线经过定点(0，)． 　　评析　　过焦点的弦或半径使用双曲线的第十定义进行转化或使用焦半径公式可简化运算．