题目内容

已知双曲线x2-4y2=4,求过点A(3,-1)且被A平分的弦MN所在的直线方程.

思路解析：设而不求，即设出A、B的坐标，联立方程组，利用韦达定理，整体消参.也可用对称性解决.

解法一：设过A（3，-1）的直线方程为y=k(x-3)-1,

代入双曲线方程,得x2-4［k(x-3)-1］2=4.

整理得(4k2-1)x2-8k(3k+1)x+36k2+24k+8=0.

若直线与双曲线交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点，则Δ≥0,

由韦达定理,得x1+x2=.                                                ①

∵A平分MN,∴=3,解得k=-,代入①验证，满足Δ≥0,

∴MN存在. ∴所求直线方程y=-(x-3)-1,即3x+4y-5=0.

解法二：设M(x1,y1),N(x2,y2),则

由(1)-(2),得x12-x22=4(y12-y22),即=.

将(3)、(4)代入上式,得kMN==-,

故MN所在直线方程为y+1=-(x-3),

即3x+4y-5=0,与双曲线方程x2-4y=4联立，消去y得5x2-30x+41=0.

∵Δ=302-820＞0,∴M、N两点存在.

所求直线方程为3x+4y-5=0.

解法三：设弦MN一个端点的坐标为(x,y)，则弦另一个端点的坐标为(6-x,-2-y).

若MN存在，则M、N两点在双曲线上，

∴x2-4y2=4,                                                                         ①

且(6-x)2-4(-2-y)2=4.                                                            ②

①-②整理,得3x+4y-5=0.

与双曲线方程x2-4y2=4联立,消去y,得5x2-30x+41=0,

∵Δ=302-820＞0,∴该直线与双曲线相交于两点.

∴所求直线方程为3x+4y-5=0.

误区警示

    直线与双曲线的关系中，都需要对所求直线的存在性进行验证（这一点与椭圆不同）,否则就容易出现错误.


练习册系列答案
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已知双曲线
y2
a2
-
x2
b2
=1的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为（　　）
A、5y2-
5
4
x2=1
B、
x 2
5
 - 
y2
4
=1
C、
y2
5
-
x2
4
=1
D、5x2-
5
4
y2=1
已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（　　）
A、
x2
9
-
y2
16
=1
B、
x2
16
-
y2
9
=1
C、
y2
9
-
x2
16
=1
D、
y2
16
-
x2
9
=1
已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

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