Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA=AB=AD=1．
（Ⅰ）请你在下面四个选项中选择2个作为条件，使得能推出平面PCD⊥平面PAD，并证明．
①PB=PD=

2

；       ②四边形ABCD是正方形；
③PA⊥平面ABCD；    ④平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ）在（Ⅰ）选择的条件下，在四棱锥P-ABCD的表面上任取一个点，求这个点在四棱锥P-ABCD侧面内的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可选择①②作为条件．由勾股定理证明PA⊥AD，PA⊥AB，从而证明 PA⊥平面ABCD，由正方形的性质得AD⊥CD，故有CD⊥平面PAD．
（Ⅱ）先求出四棱锥的4个侧面的面积之和，再求出底面的面积，用侧面的面积之和除以全面积（侧面积的和加上底面面积），即得这个点在四棱锥P-ABCD侧面内的概率．

解答：解：（Ⅰ）选择①②作为条件．（1分）
证明如下：∵PA=AD=1，PD=

2

，∴PD²=PA²+AD² ，∴∠PAD=90°，即PA⊥AD，
同理，可证PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD（4分）
∴CD⊥平面PAD（5分），又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD．（6分）
（Ⅱ）因为（Ⅰ）中已经证明CD⊥平面PAD，同理有BC⊥面PAB，
S_△PAB=S_△PAD=

1

2

×PA×AD=

1

2

×1×1=

1

2

，S_△PCB=S_△PCD=

1

2

×PD×CD=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
S_ABCD =AB² =1（10分）∴在四棱锥P-ABCD的表面上任取一个点，
这个点在四棱锥P-ABCD侧面内的概率是

S△PAB+S△PAD+S△PCB+S△PCD

S△PAB+S△PAD+S△PCB+S△PCD+SABCD

=

1+ 2

2+ 2

=

2

2

．（12分）

点评：本题考查证明两个平面垂直的方法及面面垂直的性质，棱锥的侧面积与全面积的求法，以及几何概型．