题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-D的余弦值．
分析：（1）证明PA⊥BD，只需证明BD⊥平面PAD，即需证明BD⊥AD，BD⊥PD；
（2）过D作DE⊥PB与E，连接AE，则PB⊥面ADE，PB⊥AE，∠DEA为二面角A-PB-D的平面角．RT△ADE中求解即可．
（2）过D作DE⊥PB与E，连接AE，则PB⊥面ADE，PB⊥AE，∠DEA为二面角A-PB-D的平面角．RT△ADE中求解即可．
解答：（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD=2，
由余弦定理得=BD=
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴BD⊥PD
∵AD∩PD=D
∴BD⊥平面PAD
∵PA?平面PAD
∴PA⊥BD
（2）由（1）得BD⊥PD，AD⊥PD，∴AD⊥面PDB．AD⊥PB
过D作DE⊥PB与E，连接AE，则PB⊥面ADE，PB⊥AE，∠DEA为二面角A-PB-D的平面角．
在RT△PDB中，DE=
=
RT△ADE中，cos∠DEA=
=
=
=
二面角A-PB-D的余弦值为
由余弦定理得=BD=
| 3 |
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴BD⊥PD
∵AD∩PD=D
∴BD⊥平面PAD
∵PA?平面PAD
∴PA⊥BD
（2）由（1）得BD⊥PD，AD⊥PD，∴AD⊥面PDB．AD⊥PB
过D作DE⊥PB与E，连接AE，则PB⊥面ADE，PB⊥AE，∠DEA为二面角A-PB-D的平面角．
在RT△PDB中，DE=
| PD×BD |
| PB |
| ||
| 2 |
RT△ADE中，cos∠DEA=
| DE |
| AE |
| DE | ||
|
| ||||
|
| ||
| 7 |
二面角A-PB-D的余弦值为
| ||
| 7 |
点评：本题考查空间直线位置关系的判定，空间角的计算，考查转化计算、空间想象、推理论证等能力．
练习册系列答案
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