Question

f（x）=lg

1+2x+…+(n-1)x+nxa

n

，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（-∞，1]时有意义，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）、f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，即a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]，x∈(-∞，1]，然后由函数的单调性求实数a的取值范围．
（Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．

解答：解：（Ⅰ）f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，
即a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]，x∈(-∞，1]，
∵-(

k

n

)x(k=1，2，…，n-1)在(-∞，1]上都是增函数，
∴-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]在（-∞，1]上也是增函数，
从而它在x=1时取得最大值-(

1

n

+

2

n

+…

n-1

n

)=-

1 2 n(n-1)

n

=-

1

2

(n-1)．
所以a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]，x∈(-∞，1]，
∵-(

k

n

)x(k=1，2，…，n-1)在(-∞，1]等价于a＞-

1

2

(n-1)，
故a的取值范围是{a|a＞-

1

2

}．
（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²
＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a₁+a₂+…+a_n²）²=（a₁²+a₂²+…a_n²）+2（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）
≤（a₁²+a₂²+…a_n²）+[（a₁²+a₂²）+…+（a₁²+a_n²）]+[（a₂²+a₃²）
+…+（a₂²+a_n²）]+…+[（a_n-2²+a_n-1²）+（a_n-2²+a_n²）]+（a_n-1²+a_n²）
=n（a₁²+a₂²+…+a_n²）．
于是（a₁+a₂+…+a_n）²≤n（a₁²+a₂²+…+a_n²）当a₁=a₂=…=a_n时成立．
利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2^x，
所以有[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，a∈（0，1]，
当0＜a＜1，x≠0时，因a²＜a，
所以有[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，
即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．

点评：本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，并且细心运算，避免不必要的错误．