题目内容
已知函数f（x）=lg| 1+x |
| 1-x |
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明．
（3）求证：f（a）+f（b）=f（
| a+b |
| 1+ab |
（4）若f（
| a+b |
| 1+ab |
| a-b |
| 1-ab |
分析：（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，若对称再判断f（-x）与f（x）的关系，易判断函数的奇偶性；
（2）利用定义法（作差法），任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b，然后判断f（a）与f（b）的大小，结合函数单调性的定义即可得到结论；
（3）根据函数解析式，及对数的运算性质，分别计算出f（a）+f（b）与f(
)的值，即可得到结论；
（4）根据f（
）=1，f（
）=2结合（3）的结论，我们易构造一个关于f（a）与f（b）的方程组，解方程组即可得到结论．
（2）利用定义法（作差法），任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b，然后判断f（a）与f（b）的大小，结合函数单调性的定义即可得到结论；
（3）根据函数解析式，及对数的运算性质，分别计算出f（a）+f（b）与f(
| a+b |
| 1+ab |
（4）根据f（
| a+b |
| 1+ab |
| a-b |
| 1-ab |
解答：解：（1）∵
＞0
∴-1＜x＜1，即函数的定义域（-1，1）
∵定义域关于原点对称
f（-x）=lg
=lg
=-f（x）故f（x）为奇函数
（2）任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b
则f（a）-f（b）=lg
-lg
=lg(
÷
)=lg(
•
)＞0
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
（3）∵f（a）+f（b）=lg
+lg
=lg
又∵f(
)=lg
=lg
，
∴f（a）+f（b）=f(
)
（4）∵f（a）+f（b）=f(
)
∴f（a）+f（b）=1
f（a）+f（-b）=f(
)，
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，
解得：f（a）=
，f（b）=-
．
| 1+x |
| 1-x |
∴-1＜x＜1，即函数的定义域（-1，1）
∵定义域关于原点对称
f（-x）=lg
| 1-x |
| 1+x |
| 1+x |
| 1-x |
（2）任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b
则f（a）-f（b）=lg
| 1+a |
| 1-a |
| 1+b |
| 1-b |
| 1+a |
| 1-a |
| 1+b |
| 1-b |
| 1+a |
| 1-a |
| 1-b |
| 1+b |
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
（3）∵f（a）+f（b）=lg
| 1+a |
| 1-a |
| 1+b |
| 1-b |
| 1+a+b+ab |
| 1-a-b-ab |
又∵f(
| a+b |
| 1+ab |
1+
| ||
1-
|
| 1+a+b+ab |
| 1-a-b+ab |
∴f（a）+f（b）=f(
| a+b |
| 1+ab |
（4）∵f（a）+f（b）=f(
| a+b |
| 1+ab |
∴f（a）+f（b）=1
f（a）+f（-b）=f(
| a-b |
| 1-ab |
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，
解得：f（a）=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性判断，函数的单调性证明，对数的运算性质，抽象函数求值，熟练掌握函数性质的定义是解答本题的关键．
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