Question

【题目】已知抛物线：，，，，四点都在抛物线上.

（1）若线段的斜率为，求线段中点的纵坐标；

（2）记，若直线，均过定点，且，，分别为，的中点，证明：，，三点共线.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）设，，分别代入抛物线方程并作差，结合线段的斜率为，可求出的值；

（2）设出直线，的方程，分别与抛物线方程联立，结合韦达定理，可得到，坐标的表达式，进而求得直线方程的表达式，结合，证明在直线上即可.

（1）设，，由，在抛物线上，得，

两式相减可得.

由题意知，，所以，

则，则线段中点的纵坐标为.

（2）因为，故直线，的斜率存在且不为零.

设直线，直线.易知，，.

由，得，则.

设.则，，即.

同理可得，.

所以，则直线.

因为，所以，即.

所以直线，故直线过点，即，，三点共线.