题目内容

如图，O（0，0）A（1，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去．有如下结论：
①所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；
②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1）上；
③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P6的坐标是；
④第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，则．
其中正确结论的序号是    （把你认为正确结论的序号都填上）．
【答案】分析：根据O（0，0）A（1，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，根据规律可判定①②的真假，结合图形求出点P6的坐标，可判定③的真假，求出第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标xn，xn=1-，然后求极限可得结论．
解答：解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，故①正确；
根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1上，故②正确；
第六个正三角形的边长为，故顶点P6的横坐标为，P5的纵坐标为--=
从而顶点P6的纵坐标为+=，故③正确；
第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，xn=1-，则，故④正确．
故答案为：①②③④
点评：本题主要考查了等比数列的应用，同时考查了识图能力，将图形问题转化成数列问题解决即可，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网（中应用举例）如图，O，A，B是平面上的三点，向量
OA
=
a
，
OB
=
b
，设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点，向量
OP
=
p
，若|
a
|=4，|
b
|=2，则
p
•（
a
-
b
）=（　　）
A、8B、6C、4D、0
（1）（选修4-4坐标系与参数方程）
已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，则极点到该直线的距离是
2
2
2
2
．
（2）（选修4-5 不等式选讲）
已知lga+lgb=0，则满足不等式
a
a2+1
+
b
b2+1
≤λ的实数λ的范围是
[1，+∞）
[1，+∞）
．
（3）（选修4-1 几何证明选讲）
如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，点C在圆O′上且不与点A，B重合，则∠ACB=
60°
60°
．
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（2009•孝感模拟）如图，O（0，0）A（1，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去．有如下结论：
①所作的正三角形的边长构成公比为
1
2
的等比数列；
②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1）上；
③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P6的坐标是(
63
64
，
21
64
，
3
)；
④第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，则
lim
n→∞
xn=1．
其中正确结论的序号是
①②③④
①②③④
（把你认为正确结论的序号都填上）．

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