Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，满足f（x-1）=f（x）+x-1
（1）求f（x）的解析式；
（2）设F(x)=-2f(log2x)+4log2x+2，

1

4

≤x≤4，求F（x）的最大值和最小值及取得最大值最小值时对应的x值．

Answer 1

分析：（1）利用二次函数f（x）=ax²+bx，满足f（x-1）=f（x）+x-1，确定关于a，b的方程组，即可求得函数的解析式；
（2）利用换元法，转化为二次函数，利用配方法，可求f（x）的最大值和最小值及取得最大值最小值时对应的x值．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx，满足f（x-1）=f（x）+x-1
∴a（x-1）²+bx（x-1）=ax²+bx+x-1
∴ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1
∴

-(2a-b)=b+1 a-b=-1

∴

a=- 1 2 b= 1 2

∴f（x）=-

1

2

x2+

1

2

x…（4分）
（2）由（1）知F(x)=lo

g

2 2

x+3log2x+2…（6分），
令t=log₂x，
则y=t2+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，（-2≤t≤2）
∴t=-

3

2

，即log2x=-

3

2

，x=2-

3

2

，亦即x=

2

4

时，F（x）_min=-

1

4

                       …（10分）
当t=2，即x=4时，F（x）_max=12                      …（12分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，解题的关键是换元转化为二次函数求最值，属于中档题．