Question

【题目】如图，在平面直角系中，点A为曲线C：在第一象限的图象上的动点，点E，G在曲线C的准线上，且点G在x轴的下方，圆O与准线相切，直线交曲线C于点B，交圆O于点D，H.

（1）当点H为曲线C的焦点，时，求；

（2）当点O为的内心时，若，求点A的坐标.

Answer 1

【答案】（1）8；（2）.

【解析】

(1)首先由准线方程可得抛物线方程，根据圆的弦长可得直线AG的方程，联立直线AG与抛物线，结合焦半径公式即可求解；(2)根据直线AE,AG与圆相切，结合圆心到直线的距离等于半径，构造二次方程的两根为，结合韦达定理即可建立等量关系，可求出点A的坐标.

（1）∵曲线C的准线为，∴，即，

∴曲线C的方程为.

∴此时，即.

过点O作于点K，则点K为弦的中点.

∵，∴.

在中，，

∴，即直线的斜率为1，

∴直线的方程为.

设点，.

联立消去y，

得，

由韦达定理得，

∴.

（2）当点O为的内心时，点D与点H重合，即直线与圆O相切.

设，，，易知，，.

直线的方程为，

化简得.

又圆心到的距离为1，

即，

∴，

化简得，

同理有.

∴，，∵，

∴.

∴，解得或（舍），∴.