Question

【题目】已知点P为直线上任意一点，，M为平面内一点，且.

（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；

（Ⅱ）过点P作曲线E的切线，切点分别是.若，求点P的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）根据题意可知点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义即可写出点M的轨迹E的方程；

（Ⅱ）依题可设点，切线方程为，根据直线与抛物线相切，可得，求解出根与系数的关系，再设出直线的斜率为，直线的斜率为，即可用表示出切点坐标，然后根据两点间的距离公式列出方程，结合根与系数的关系即可解出．

（Ⅰ）设点，交直线于点N，

因为，所以，

即点M的轨迹E是以F为焦点，直线为准线的抛物线．

因为，所以，所以点M的轨迹E的方程为．

（Ⅱ）设点，显然切线的斜率存在且不为0，设斜率为，

则切线方程为，

代入得，，

，所以.

设直线的斜率为，直线的斜率为，

则.

设切点坐标为，由有两个相等实数根，

得，所以切点坐标为，

即切点，

所以

，

其中，

所以，

所以，即，解得，即．

故点P的坐标为或．