Question

用数学归纳法证明：

tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=-n(n≥2,n∈N₊).

Answer 1

思路解析：(1)当n=2时，左边=tanα×，

右边=,

等式成立.

(2)假设当n=k时（k≥2,k∈N ₊）等式成立，即

tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα=-k,

则当n=k+1时，

tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α

=-k+tankα·tan(k+1)α.(*)

因tanα=tan［(k+1)α-kα］

=,得

tankαtan(k+1)α=.

代入（*）式，得

右边=-(k+1),

即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=-(k+1).

这就是说，当n=k+1时等式成立.

根据（1）（2）可知，对任意n≥2,n∈N ₊,等式成立.