Question

10．已知x，y∈R，a＞1，b＞1，且a^x=b^y=2，a²+b=4．
（1）若x=2，则a^x+y=2$\sqrt{2}$；
（2）$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值为2．

Answer 1

分析 （1）把x=2代入a^x=b^y=2求得a的值；所以根据a²+b=4得到b的值；再将b的值代入b^y=2来求y的值；
（2）根据基本不等式进行计算．

解答 解：（1）把x=2代入a^x=2得到：a²=2，则a=±$\sqrt{2}$，又a＞1，
故a=$\sqrt{2}$，代入a²+b=4得到：b=2．
所以由b^y=2得到：y=log_b2=log₂2=1，
所以a^x+y=（$\sqrt{2}$）²⁺¹=2$\sqrt{2}$．
故答案是：2$\sqrt{2}$．
（2）因为a＞1，b＞1，a²+b=4，
所以4=a²+b≥2a$\sqrt{b}$，则a²b≤4．
由a^x=b^y=2得到：x=log_a2，y=log_b2，
则$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=2log₂a+log₂b=log₂a²+log₂b=log₂^a2•b≤log₂4=2，即$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$≤2．
所以$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值为2．
故答案是：2．

点评 本题考查对数的运算法则和运算性质，解题时要认真审题，仔细解答．