Question

（本大题满分14分）
已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，其渐近线方程是，双曲线过点
(1)求双曲线方程
(2)动直线经过的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问:是否存在直线,使G平分线段MN，证明你的结论

Answer 1

(1)所求双曲线方程为="1" ；
(2)所求直线不存在。

本试题主要是考查了双曲线方程的求解，已知直线与双曲线的位置关系的综合运用。
（1）利用已知中的渐近线方程是，双曲线过点
那么设出双曲线的标准方程，然后代入点和a,b的关系得到求解。
（2）假设存在直线，使G(2，2)平分线段MN，那么利用对称性，分别设出点的坐标，那么联立方程组，可知斜率，得到直线的方程，从而验证是否存在。
(1)如图，设双曲线方程为=1 …………1分

由已知得………………………………………3分
解得 …………………………………………………5分
所以所求双曲线方程为="1" ……………………6分
(2)P、A₁、A₂的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心G的坐标为(2，2）…………………………………………………………8分
假设存在直线，使G(2，2)平分线段MN，
设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂) 则有
，∴k_l=……………………10分
∴l的方程为y=(x－2)+2,12分
由,消去y,整理得x²－4x+28="0"
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线不存在…………………………………………14分