Question

15．已知向量$\vec a$，$\vec b$满足$|{\vec a}|=2\sqrt{2}|{\vec b}|≠0$，且关于x的函数$f（x）=2{x^3}+3|{\vec a}|{x^2}+6\vec a•\vec bx+7$在实数集R上单调递增，则向量$\vec a$，$\vec b$的夹角的取值范围是（　　）

• A． $[{0，\left.{\frac{π}{6}}]}\right.$
• B． $[{0，\left.{\frac{π}{3}}]}\right.$
• C． $[{0，\left.{\frac{π}{4}}]}\right.$
• D． $[{\frac{π}{6}，\left.{\frac{π}{4}}]}\right.$

Answer 1

分析 求导数，利用函数f（x）=2x³+3|a|x²+6a•bx+7在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用$|{\vec a}|=2\sqrt{2}|{\vec b}|≠0$，利用向量的数量积，即可得到结论．

解答 解：求导数可得f′（x）=6x²+6|$\overrightarrow{a}$|x+6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，则由函数f（x）=2x³+3|a|x²+6a•bx+7在实数集R上单调递增，
可得f′（x）=6x²+6|$\overrightarrow{a}$|x+6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥0恒成立，即 x²+|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥0恒成立，
故判别式△=$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤0 恒成立，
再由$|{\vec a}|=2\sqrt{2}|{\vec b}|≠0$，可得8|$\overrightarrow{b}$|²≤8$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|²cos＜$\vec a$，$\vec b$＞，
∴cos＜$\vec a$，$\vec b$＞≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴＜$\vec a$，$\vec b$＞∈[0，$\frac{π}{4}$]，
故选：C．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查向量的数量积，解题的关键是利用判别式小于等于0在R上恒成立，属于中档题．