Question

如图所示，O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．

（1）若=a, =b, =c．=h,试用a、b、c表示h;

（2）证明：⊥；

（3）若△ABC中的∠A=60°,∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|．

Answer 1

解：（1）由题意知+=，?=+，故=++，即h=a+b+c.

（2）=-=a+b+c-a=b+c，?=-=c-b.?则·=（b+c）（c-b）=c²-b².?又||=||=||，故|c|=|b|，即c²=b².?∴·=0，即?AH⊥BC.?

（3）∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°，故在△BOC中，由余弦定理有?||²=||²+||²-2||·||·cos120°=3R²，即||=R.?同理||=R，且∠AOC=2∠B=90°，则∠AOB=2∠C=150°.?∴a·c=|a||b|·cos150°=-R².?又∵∠AOC=90°，?∴a·c=0，b·c=|b|·|c|·cos120°=-R².?∴|h|====.?∴|h|=R，即|h|为R.