Question

选修4-1：几何证明选讲
如图所示，AC为圆O的直径，D为

BC

的中点，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AB∥DE；
（Ⅱ）求证：2AD•CD=AC•BC．

Answer 1

分析：（I）利用圆的直径的性质可得AB⊥BC．已知D为

BC

的中点，E为BC的中点，利用垂直定理及其推论可得DE⊥BC．即可证明AB∥DE．
（II）如图所示，作出矩形ADCF．则矩形的面积S=AD•DC．而S=EC•DF=

1

2

BC•AC，于是得到

1

2

AC•BC=AD•DC．

解答：证明：（I）∵AC为圆O的直径，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC．
∵D为

BC

的中点，E为BC的中点，∴DE⊥BC．
∴AB∥DE．
（II）如图所示，作出矩形ADCF．
则矩形的面积S=AD•DC．
而S=EC•DF=

1

2

BC•AC，
∴

1

2

AC•BC=AD•DC．
∴2AD•DC=AC•BC．

点评：本题考查了圆的直径的性质、垂直定理及其推论、三角形的中位线定理、矩形的性质与面积等基础知识与基本方法，属于难题．