Question

若a≥0，b≥0，且当

x≥0 y≥0 x+y≤1

时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于

 

．

Answer 1

分析：先依据不等式组

x≥0 y≥0 x+y≤1

，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有ax+by≤1”得出关于a，b的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可．

解答：解：令z=ax+by，
∵ax+by≤1恒成立，
即函数z=ax+by在可行域要求的条件下，z_max≤1恒成立．
当直线ax+by-z=0过点（1，0）或点（0，1）时，0≤a≤1，0≤b≤1．
点P（a，b）形成的图形是边长为1的正方形．
∴所求的面积S=1²=1．
故答案为：1

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．