Question

椭圆x²+4y²=16的离心率等于

 

，与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是x+

3

y=0的双曲线方程是

 

．

Answer 1

分析：椭圆x²+4y²=16的标准方程是

x2

16

+

y2

4

=1，由此能够求出它的离心率．由双曲线的一条渐近线方程是x+

3

y=0，可设双曲线的方程为

x2

λ

-

y2

λ 3

=1（λ＞0），再由双曲线的焦点坐标是（±2

3

，0），能够求出λ的值，从而推导出双曲线方程．

解答：解：椭圆x²+4y²=16的标准方程是

x2

16

+

y2

4

=1，其中a=4，b=2，c=2

3

，e=

c

a

=

3

2

∵双曲线的一条渐近线方程是x+

3

y=0，
∴可设双曲线的方程为

x2

λ

-

y2

λ 3

=1（λ＞0）
∵椭圆焦点的坐标是（±2

3

，0）
∴双曲线的焦点坐标是（±2

3

，0）
∴λ+

λ

3

=12，λ=9，即双曲线的方程是

x2

9

-

y2

3

=1．
答案：

3

2

，

x2

9

-

y2

3

=1

点评：本题考查双曲线和椭圆的基本性质，难度不大，解题时注意不要弄混了双曲线和椭圆的性质．