题目内容

设P（a，b）（a•b≠0）、R（a，2）为坐标平面xoy上的点，直线OR（O为坐标原点）与抛物线y2=
4ab
x交于点Q（异于O）．
（1）若对任意ab≠0，点Q在抛物线y=mx2+1（m≠0）上，试问当m为何值时，点P在某一圆上，并求出该圆方程M；
（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆x2+4y2=1上，试问：点Q能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；
（3）对（1）中点P所在圆方程M，设A、B是圆M上两点，且满足|OA|•|OB|=1，试问：是否存在一个定圆S，使直线AB恒与圆S相切．
分析：（1）把直线方程与抛物线方程联立求得交点Q的坐标，代入y=mx2+1，求得a和b的关系式，进而判断出当m=1时，点P（a，b）在圆M：x2+（y-1）2=1上
（2）设a=cosθ，b=
1
2
sinθ，进而根据点Q的坐标，求得y2Q-mx2Q=16，进而判断出，点Q在双曲线y2-4x2=16上．
（3）设AB：x=ky+λ，A（x1，y1），B（x2，y2），进而根据|OA|•|OB|=1，求得y2•y1，进而把直线与圆方程联立，求得y2•y1，进而根据原点O到直线AB距离求得d，进而判断出直线AB恒与圆S：x2+y2=
1
4
相切．
解答：解：（1）∵
y=
2
a
x
y2=
4
ab
x
?Q(
a
b
，
2
b
)，
代入y=mx2+1∴
2
b
=m(
a
b
)2+1?ma2+b2-2b=0
当m=1时，点P（a，b）在圆M：x2+（y-1）2=1上
（2）∵P（a，b）在椭圆x2+4y2=1上，即a2+（2b）2=1
∴可设a=cosθ，b=
1
2
sinθ
又∵Q(
a
b
，
2
b
)，
∴
xQ=
a
b
yQ=
2
b
?
y
2
Q
-m
x
2
Q
=(
2
b
)2-m(
a
b
)2=(
4
sinθ
)2-m(
2cosθ
sinθ
)2=
16
sin2θ
-
4mcos2θ
sin2θ
=16（令m=4）
∴点Q在双曲线y2-4x2=16上
（3）∵圆M的方程为x2+（y-1）2=1
设AB：x=ky+λ，A（x1，y1），B（x2，y2），由|OA|•|OB|=1
x
2
1
+
y
2
1
•
x
2
2
+
y
2
2
=
1-(y1-1)2+
y
2
1
•
1-(y2-1)2+
y
2
2
=
2y1
•
2y2
=1?y1y2=
1
4

又∵
x2+(y-1)2=1
x=ky+λ
?（k2+1）y2+2（kλ-1）y+λ2=0，
∴y1y2=
λ2
k2+1
=
1
4
?
|λ|
k2+1
=
1
2

又原点O到直线AB距离d=
|λ|
1+k2

∴d=
1
2
，即原点O到直线AB的距离恒为
1
2

∴直线AB恒与圆S：x2+y2=
1
4
相切．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，因此倍受高考命题人的青睐．
练习册系列答案
相关题目
设空间向量
a
、
b
、
p
，则下列命题中正确命题的序号：
 

①若
p
=x
a
+y
b
，则
p
与
a
、
b
共面；
②若
p
与
a
、
b
共面，则
p
=x
a
+y
b
；
③若
MP
=x
MA
+y
MB
，则P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，则
MP
=x
MA
+y
MB

⑤若存在λ，μ∈R使λ
a
+μ
b
=0，则λ=μ=0
⑥若
a
，
b
不共线，则空间任一向量p=λ
a
+μ
b
 （λ，μ∈R）
设O、A、B是平面内不共线的三点，记
OA
=
a
， 
OB
=
b
，若P为线段AB垂直平分线上任意一点，且
OP
=
p
，当|
a
|=2，|
b
|=1时，则
p
•(
a
-
b)
等于（　　）
设P、A、B、C是球O表面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，则球的半径为
 
．
设空间向量
a
、
b
、
p
，则下列命题中正确命题的序号：______
①若
p
=x
a
+y
b
，则
p
与
a
、
b
共面；
②若
p
与
a
、
b
共面，则
p
=x
a
+y
b
；
③若
MP
=x
MA
+y
MB
，则P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，则
MP
=x
MA
+y
MB

⑤若存在λ，μ∈R使λ
a
+μ
b
=0，则λ=μ=0
⑥若
a
，
b
不共线，则空间任一向量p=λ
a
+μ
b
 （λ，μ∈R）

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