Question

15．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则$\overrightarrow{AF}$=（　　）

• A． $\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$
• B． $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}$
• C． $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BD}$
• D． $\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

Answer 1

分析 根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．

解答 解：∵△DEF∽△BEA
DF：BA═DE：BE=1：3；
作FG平行BD交AC于点G，
∴FG：DO=2：3，CG：CO=2：3，
∴$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，
∵$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AG}$+$\overrightarrow{GF}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$，
故选：D

点评 向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．