Question

已知函数f（x）是定义在[-6，6]上的奇函数，且f（x）在[0，3]上是x的一次函数，在[3，6]上是x的二次函数，且当3≤x≤6时，f（x）≤f（5）=3，f（6）=2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根据题意，分析可得（5，3）是[3，6]这段二次函数图象的顶点，则设其解析式为f（x）=a（x-5）²+3，代入数据可得a=-1，即f（x）=-（x-5）²+3，进而由特殊值可得f（x）在[0，3]x的一次函数的解析式，再根据函数是奇函数，由奇函数的性质，分析可得f（x）的解析式．

解答：解：∵f（x）在[3，6]上是x的二次函数，且当3≤x≤6时，f（x）≤f（5）=3；
∴（5，3）是此二次函数图象的顶点，设这个二次函数为f（x）=a（x-5）²+3．
∵f（6）=2；
∴a=-1．
∴f（x）=-（x-5）²+3（x∈[3，6]），
∴f（3）=-1．
又函数f（x）是定义在[-6，6]上的奇函数；
∴f（0）=0．
∵f（x）在[0，3]上是x的一次函数，且f（0）=0，f（3）=-1；
∴f(x)=-

1

3

x．
又∵函数f（x）是定义在[-6，6]上的奇函数，
∴x∈[-3，0]时，f(x)=-f(-x)=-[-

1

3

(-x)]=-

1

3

x；x∈[-6，-3]时，
f（x）=-f（-x）=-[-（-x-5）²+3}=（x+5）²-3．
综上f(x)=

-(x-5)2+3 x∈[3，6] - 1 3 x x∈[-3，3] (x+5)2-3 x∈[-6，-3]

点评：本题考查函数奇偶性的运用以及待定系数法求函数的解析式，涉及分段函数时，注意分段函数，分段分析，分段讨论的思想．