题目内容

已知函数f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）计算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）证明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．
分析：（1）直接代入计算即可：[f（1）]2-[g（1）]2=[f（1）+g（1）][f（1）-g（1）]；
（2）先利用平方差公式化得：[f（x）]2-[g（x）]2=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]，再将条件整体代入即可．
解答：解：（1）[f（1）]2-[g（1）]2=[f（1）+g（1）][f（1）-g（1）]=2×
1
2
=．
（2）：[f（x）]2-[g（x）]2=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]
=(
2x+2-x
2
+
2x-2-x
2
) ( 
2x+2-x
2
-
2x-2-x
2
)
=2x×2-x=1为定值．
∴本题得证．
点评：本小题主要考查函数的值、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，解答关键是利用整体思想代入求解，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=2-
1
x
，（x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是（　　）
已知函数f（x）=2+log0.5x（x＞1），则f（x）的反函数是（　　）
已知函数f（x）=2（m-1）x2-4mx+2m-1
（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个不同的交点；
（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值．
（2013•上海）已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．
选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=2|x-2|-x+5，若函数f（x）的最小值为m
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求实数a的取值范围．

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