Question

已知函数f（x）=

2x+2-x

2

，g（x）=

2x-2-x

2

，
（1）计算：[f（1）]²-[g（1）]²；
（2）证明：[f（x）]²-[g（x）]²是定值．

Answer 1

分析：（1）直接代入计算即可：[f（1）]²-[g（1）]²=[f（1）+g（1）][f（1）-g（1）]；
（2）先利用平方差公式化得：[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]，再将条件整体代入即可．

解答：解：（1）[f（1）]²-[g（1）]²=[f（1）+g（1）][f（1）-g（1）]=2×

1

2

=．
（2）：[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]
=(

2x+2-x

2

+

2x-2-x

2

) ( 

2x+2-x

2

-

2x-2-x

2

)
=2^x×2^-x=1为定值．
∴本题得证．

点评：本小题主要考查函数的值、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，解答关键是利用整体思想代入求解，属于基础题．