Question

3．设F₁，F₂分别是椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁且斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，且|$\overrightarrow{A{F}_{2}}$|，|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|成等差数列．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点P（0，-1）满足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）根据|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，可得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，利用椭圆定义可得|AB|=$\frac{4}{3}$a．设l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0（*），利用韦达定理可得$\frac{4}{3}$a，从而可证b=c． 
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化为3y²-2by-b²=0，根据|PA|=|PB|知PM为AB的中垂线，可得k_PM=-1，从而可求b=3，进而可求椭圆C的方程．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{A{F}_{2}}$|，|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|成等差数列，
∴2|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{A{F}_{2}}$|+|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，
∴|AB|=$\frac{4}{3}$a．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，
代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）
则|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（y₁-y₂）²=2[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=2[（$\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）²+$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$]=$\frac{8{b}^{4}}{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}}$•2a²，
化简得a=$\sqrt{2}$b，故b=c．
所以椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化为3y²-2by-b²=0，
设AB中点为M（x₀，y₀），则y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{b}{3}$，
又M∈l，于是x₀=y₀-c=-$\frac{2b}{3}$，
由|PA|=|PB|，知PM为AB的中垂线，k_PM=-1，
由P（0，-1），得-1=$\frac{\frac{b}{3}+1}{-\frac{2b}{3}}$，解得b=3，a²=18，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题重点考查椭圆的标准方程，考查等差数列的性质，考查两点间的距离公式，解题的关键是利用|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，得出点P（0，-1）在线段AB的垂直平分线上，求得斜率为-1．