Question

11．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为8：27．

Answer 1

分析 设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r²=h（2R-h），求出球的内接圆锥的最大体积，即可求得结论．

解答 解：设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r²=h（2R-h）．
V_锥=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{3}π$h²（2R-h）=$\frac{π}{6}$h•h（4R-2h）≤$\frac{π}{6}$$（\frac{h+h+4R-2h}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$•$\frac{4}{3}$πR³．
∵V_球=$\frac{4}{3}$πR³
∴球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为8：27．
故答案为：8：27．

点评 本题考查球的内接圆锥的最大体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．