Question

（2012•洛阳一模）如图，矩形ABCD和ABEF中，AF=AD=2AB=2，二面角C-AB-E的大小为60°，G为BC的中点．
（1）求证：AG⊥DE；
（2）求二面角A-ED-G的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明EG⊥平面ABCD，可得AG⊥EG，利用勾股定理，证明AG⊥DG，从而可得AG⊥平面DEG，即可得到结论；
（2）以G为坐标原点，GD为x轴，GA为y轴，GE为z轴，建立空间直角坐标系，求出面EDG的法向量、平面AED的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（1）证明：由题意，AB⊥BG，AB⊥BE，所以∠EBC为二面角C-AB-E的平面角，即∠EBG=60°
∵ABCD和ABEF是矩形
∴AB⊥平面BGE
∵AB?平面ABCD，
∴平面EBG⊥平面ABCD
∵BE=2，BG=1
∴由余弦定理可得EG=

3

∴BE²=BG²+EG²
∴EG⊥BC
∵AG?平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD
∴AG⊥EG，
在矩形ABCD中，G为BC中点，∴AG=DG=

2

，AD=2
∴AG²+DG²=AD²
∴AG⊥DG
∵EG∩DG=G
∴AG⊥平面DEG
∵DE?平面DEG
∴AG⊥DE；
（2）解：以G为坐标原点，GD为x轴，GA为y轴，GE为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，

2

，0），D（

2

，0，0），E（0，0，

3

）
∴

AE

=（0，-

2

，

3

），

AD

=（

2

，-

2

，0）
面EDG的法向量为

n1

=

GA

=（0，

2

，0）
设平面AED的一个法向量为

n2

=（x，y，z），则由

n2 • AE =0 n2 • AD =0

，可得

- 2 y+ 3 z=0 2 x- 2 y=0

∴可取

n2

=（3，3，

6

）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

6

4

∴二面角A-ED-G的余弦值为

6

4

．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．