题目内容

已知函数∅（x）=f（x）+g（x），其中f（x）是x的正比例函数，g（x）是x的反比例函数，且∅（
13
）=16，∅（1）=8．
（1）求∅（x）的解析式，并指出定义域；
（2）求∅（x）的值域．
分析：（1）设出正比例函数，反比例函数，从而得到∅（x）的表达式，把∅（
1
3
）=16，∅（1）=8代入∅（x）的表达式得方程组，求得系数，求得∅（x）的解析式，使解析式有意义，得∅（x）的定义域；
（2）把函数解析式转化为关于x的一元二次方程，利用判别式△≥0求得∅（x）的值域．
解答：解：（1）设f（x）=ax，g（x）=
b
x
，a、b为比例常数，则∅（x）=f（x）+g（x）=ax+
b
x

由
?(
1
3
)=16
?(1)=8
得
1
3
a+3b=16
a+b=8
，解得
a=3
b=5

∴∅（x）=3x+
5
x
，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）由y=3x+
5
x
，得3x2-yx+5=0（x≠0）
∵x∈R且x≠0，∴△=y2-60≥0，∴y≥2
15
或y≤-2
15

∴∅（x）的值域为（-∞，-2
15
]∪[2
15
，+∞）
点评：待定系数法是求函数解析式最常用的一种方法，也是最容易掌握的一种方法；判别式法求函数的值域这种方法在削弱，题目不是太多．
练习册系列答案
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12
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12
f(x)=4lnx-k在[1，e]上恰有两个相异实根，求实数k的取值范围．
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1
3
x3-
a
2
x2+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1
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