Question

已知函数f（x）=3x²+bx+c，不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（0，+∞）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+mx-2在（2，+∞）上单调增，求实数m的取值范围；
（3）若对于任意的x∈[-2，2]，f（x）+n≤3都成立，求实数n的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意判断出：-2和0是方程3x²+bx+c=0的两个实根，代入列出方程，求出b和c的值；
（2）由（1）求出g（x）的解析式，再求出对称轴方程，根据条件和二次函数的单调性，列出不等式，求出m的范围；
（3）由（1）和分离常数法得n≤-3x²-6x+3，再对二次式配方后，根据二次函数的性质，求出函数y=-3x²-6x+3在已知区间上的最小值即可．

解答：解：（1）∵f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（0，+∞），
∴-2和0是方程3x²+bx+c=0的两个实根，
则

c=0 12-2b+c=0

，解得b=6，c=0，
∴f（x）=3x²+6x，
（2）由（1）得，g（x）=f（x）+mx-2=3x²+（6+m）x-2，
则g（x）的对称轴是x=-

6+m

6

，
∵g（x）在（2，+∞）上单调增，
∴-

6+m

6

≤2，解得m≥-18，
（3）由（1）得，f（x）+n≤3，即n≤-3x²-6x+3=-3（x+1）²+6，
∵x∈[-2，2]，即当x=2时，函数y=-3x²-6x+3取到最小值为-21，
∴n≤-21，实数n的最大值为-21．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次方程与不等式的关系，以及恒成立问题，利用分离常数法转化为求函数的最值问题，属于中档题．