Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；
（3）函数h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k有几个零点？

Answer 1

分析：（1）先表示出汗水F（x）的表达式，再根据F（x-5）=F（5-x）求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式．
（2）将（1）中求出的函数f（x）的解析式代入函数g（x）然后求导，将问题转化为g′（x）≥0或g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
（3）对函数h（x）进行求导，然后根据导函数的正负和原函数的单调性的关系判断函数的单调性，进而确定零点．

解答：解：（1）由题设得：F（x）=x²+bsinx，
∵F（x-5）=F（5-x），
∴F（-x）=F（x）
∴x²-bsinx=x²+bsinx，
∴bsinx=0对于任意实数x都成立，
∴b=0
∴f（x）=x²-2．

（2）由g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx，
得g′(x)=2x+2+

a

x

  (x＞0)
g（x）在（0，1）上恒单调，只需g′（x）≥0或g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≥-（2x²+2x）或a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
设u（x）=-（2x²+2x），x∈（0，1），易知：u（x）∈（-4，0），
∴a≥0或a≤-4．

（3）令y=ln(1+x2)-

1

2

f(x)，y′=

2x

1+x2

-x=-

x(x+1)(x-1)

1+x2

，
令y′=0?x=0或x=1或x=-1，列表如下：
∴当k＞ln2+

1

2

时，无零点；
当k＜1或k=ln2+

1

2

时，有两个零点；
当k=1时，有三个零点；
当1＜k＜ln2+

1

2

时，有四个零点．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．对原函数进行求导，然后列出函数f（x）、f'（x）随x变化的表格，其单调性、极值点即可呈现出来．