Question

椭圆的两个焦点和短轴两个顶点是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  1

  2

  或

  3

  2

• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

• D．

  5 -1

  2

Answer 1

分析：由题意有可得tan30°=

3

3

=

b

c

，或tan30°=

3

3

=

c

b

，
当

3

3

=

b

c

时，由e=

c

a

=

3 b

a

=

3 a2-c2

a

，求出e的值，
当

3

3

=

c

b

时，由e=

c

a

=

3

3

a2-c2

a

，求得e的值．

解答：解：由于椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，
则tan30°=

3

3

=

b

c

，或tan30°=

3

3

=

c

b

，
当

3

3

=

b

c

时，由e=

c

a

=

3 b

a

=

3 a2-c2

a

，
∴e²=3（1-e²），解得e=

3

2

．
当

3

3

=

c

b

时，由e=

c

a

=

3

3

a2-c2

a

，
∴e²=

1

3

（1-e²），解得e=

1

2

．
综上，e=

1

2

，或e=

3

2

．
故选：A．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，根据题意得到

3

3

=

b

c

，或

3

3

=

c

b

，是解题的关键．