Question

设（

2

2

+x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ，则

lim

n→∞

[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅…+a_2n-1）²]=______．

Answer 1

令x=1可得，(1+

2

2

)2n=a0+a1+…+a2n
x=-1可得，(

2

2

-1)2n=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n
所以（a₀+a₂+…+a_2n）²-（a₁+a₃+…+a_2n-1）²
=（a₀+a₁+…+a_2n）（a₀-a₁+…-a_2n-1）
=(1+

2

2

)2n•(1-

2

2

)2n=(

1

4

)n
则

lim

n→∞

[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅…+a_2n-1）²]=

lim

n→∞

1

4n

=0
故答案为：0