题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率 $数学公式$ ，原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的取值范围．

解：（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0
∵原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ①
∵椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴a²=4b²②
②代入①，可得b²=4，
∴a²=16
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）由题意，B（0，-2）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由E，F在圆上，得x₁²+（y₁+2）²=x₂²+（y₂+2）²…③，
由E，F在直线y=kx+1得y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
代入③式，可得（1+k²）（x₁+x₂）（x₁-x₂）+6k（x₁-x₂）=0，
因为E，F为直线上不同两点，所以x₁≠x₂，所以（1+k²）（x₁+x₂）+6k=0，
即x₁+x₂= $\text{[math]}$ ④
又由E，F在椭圆上，将y=kx+1代入 $\text{[math]}$ ，得（1+4k²）x²+8kx-12=0，
由根与系数的关系，x₁+x₂= $\text{[math]}$ …⑤，
将④⑤两式联立求解得k=0或k=± $\text{[math]}$
分析：（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0，利用原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，利用椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，从而可求b²=4，
a²=16，故可求椭圆的方程；
（2）由题意，B（0，-2），设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由E，F在圆上，得x₁²+（y₁+2）²=x₂²+（y₂+2）²，由E，F在直线y=kx+1得y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，代入可得（1+k²）（x₁+x₂）（x₁-x₂）+6k（x₁-x₂）=0，从而可得x₁+x₂= $\text{[math]}$ ；将y=kx+1代入 $\text{[math]}$ ，得（1+4k²）x²+8kx-12=0，由根与系数的关系，可得x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，从而可求得k的值．
点评：本题考查的重点是椭圆的方程，解题的关键是利用待定系数法，利用根与系数的关系，建立等式关系，属于中档题．