题目内容

在△ABC中，∠A=30°，AB=4，则 $数学公式$ 的最小值为

A.
$数学公式$
B.
6
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：由题意将 $\text{[math]}$ 化成 $\text{[math]}$ ，用向量模的公式结合已知条件，可得 $\text{[math]}$ ²=16| $\text{[math]}$ |²-48 $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |+144，为关于| $\text{[math]}$ |的二次函数，结合二次函数的图象与性质，得 $\text{[math]}$ ²的最小值为36，由此即得 $\text{[math]}$ 的最小值．
解答： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ²=| $\text{[math]}$ |²=16 $\text{[math]}$ +24 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +9 $\text{[math]}$ ．
∵∠A=30°，| $\text{[math]}$ |=4，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos（π-A）=-2 $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |
因此， $\text{[math]}$ ²=16| $\text{[math]}$ |²+24×（-2 $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |）+144
=16| $\text{[math]}$ |²-48 $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |+144，
此为关于| $\text{[math]}$ |的二次函数，当| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ²的最小值为36
∴ $\text{[math]}$ 的最小值为6，即 $\text{[math]}$ 的最小值为6
故选：B
点评：本题给出三角形中一条边和一个角，求关于边长向量式的模的最小值，着重考查了平面向量的数量积的运算公式和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．