题目内容
在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c设向量
=（a，cosB），
=（b，cosA）且
∥
，
≠
（Ⅰ）若sinA+sinB=
，求A；
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，且abx=a+b试确定x的取值范围．
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| n |
（Ⅰ）若sinA+sinB=
| ||
| 2 |
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，且abx=a+b试确定x的取值范围．
分析：（Ⅰ）由两个向量共线的性质求得sin2A=sin2B，故A+B=
．再由sinA+sinB=
，求得sin(A+
)=
，可得A+
=
或A+
=
，由此求得A的值．
（Ⅱ）由条件结合正弦定理可得 x=
，设 sinA+cosA=t，t∈（1，
），根据 x=
=
＞
，求得实数x的取值范围．
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 2π |
| 3 |
（Ⅱ）由条件结合正弦定理可得 x=
| sinA+sinB |
| 2sinAsinB |
| 2 |
| t |
| t2-1 |
| 1 | ||
t-
|
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）因为向量
=（a，cosB），
=（b，cosA）且
∥
，
≠
，所以，acosA=sinB．--------（1分）
由正弦定理，可得sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A=sin2B．--------------（2分）
所以 2A+2B=π，即 A+B=
．-------（3分）
再由sinA+sinB=
，以及sinA+sinB=sinA+cosA=
sin（A+
），可得 sin(A+
)=
．------（4分）
由于 A为锐角，故有A+
=
或A+
=
，∴A=
，或
．------（6分）
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，且abx=a+b，则 x=
，由正弦定理，得x=
．-----（8分）
设 sinA+cosA=t，t∈（1，
），则 t2=1+2sinAcosA，∴sinAcosA=
，-----------（10分）
即 x=
=
＞
，所以实数x的取值范围为(
，+∞)．---------（12分）
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| n |
由正弦定理，可得sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A=sin2B．--------------（2分）
所以 2A+2B=π，即 A+B=
| π |
| 2 |
再由sinA+sinB=
| ||
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
由于 A为锐角，故有A+
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，且abx=a+b，则 x=
| a+b |
| ab |
| sinA+sinB |
| 2sinAsinB |
设 sinA+cosA=t，t∈（1，
| 2 |
| t2-1 |
| 2 |
即 x=
| t |
| t2-1 |
| 1 | ||
t-
|
| 2 |
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
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