Question

已知f（x）=ax²+4x+1（a＜0），当x∈[0，t]（t＞0）时，|f（x）|的最大值为3，
（1）当a=-1时，求t的值；           
（2）求t关于a的表达式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，f（x）=-x²+4x+1．又对称轴是x=2，而f（2）=5，判断出0＜t＜2，由f（x）=3求解．
（2）在（1）的基础上，由特殊到一般：将f（x）配方得出f(x)=ax2+4x+1=a(x+

2

a

)2+1-

4

a

，分1-

4

a

＞3，1-

4

a

≤3两类求解．
（3）按照分段函数求最值的方法，逐段求最大值，再“大中取大”得出g（a）的最大值．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=-x²+4x+1，
因为f（0）=1＞0，令-x²+4x+1=3得：x1=2-

2

，x2=2+

2

又对称轴是x=2，而f（2）=5＞3，所以t=2-

2

…（4分）
（2）f(x)=ax2+4x+1=a(x+

2

a

)2+1-

4

a

（ⅰ）当1-

4

a

＞3时，即a∈（-2，0）时，
令ax²+4x+1=3得：x1=

4+2a -2

a

，x2=

- 4+2a -2

a

此时，g（a）=

4+2a -2

a

．…（7分）
（ⅱ）当1-

4

a

≤3时，即a∈（-∞，-2]时，
令ax²+4x+1=-3得：x1=

2( 1-a -1)

a

，x2=-

2( 1-a +1)

a

此时，g（a）=-

2( 1-a +1)

a

．
综上：当a∈（-2，0）时，g（a）=

4+2a -2

a

．
当a∈（-∞，-2]时，g（a）=-

2( 1-a +1)

a

．
（3）（ⅰ）a∈（-∞，-2]时，g（a）=-

2( 1-a +1)

a

=

-2a

-a( 1-a -1)

=

2

1-a -1

≤

2

3 -1

=

3

+1…（13分）
（ⅱ）a∈（-2，0）时，g（a）=

4+2a -2

a

=

2a

a( 4+2a +2)

=

1

1+ a 2 +1

＜1
因为

3

+1＞1，所以g（a）的最大值为

3

+1．…（16分）

点评：本题考查二次函数的图象、性质，考查分类讨论、计算能力．由特殊到一般是人们认识研究事物的方法之一，本题中问题（2）的思维切入点是由（1）导入的．此种问题的设置形式和思维方法在数学各个章节题目中都有．希体会、积累、掌握．