Question

（2012•江门一模）已知函数f（x）=（1+cos2x）sin²x，x∈R．若f(α)=

1

4

，则f(α+

π

8

)=

1

2

或0

．

Answer 1

分析：先化简f（x），由f(α)=

1

4

，求得α，代入解析式可求f(α+

π

8

)的值，注意讨论．

解答：解：f（x）=（1+cos2x）sin²x=（1+cos2x）•

1-cos2x

2

=

1-cos22x

2

=

1

4

-

1

4

cos4x，
因为f(α)=

1

4

，即

1

4

-

1

4

cos4α=

1

4

，解得α=

kπ

4

+

π

8

，k∈Z，
所以f（α+

π

8

）=

1

4

-

1

4

cos4（α+

π

8

）=

1

4

-

1

4

cos4（

kπ

4

+

π

4

）=

1

4

-

1

4

cos（kπ+π），
当k为偶数时，f（α+

π

8

）=

1

2

，当k为奇数时，f（α+

π

8

）=0，
所以f（α+

π

8

）=

1

2

或0，
故答案为：

1

2

或0．

点评：本题考查二倍角的正弦、余弦公式，考查简单的三角方程，考查学生的运算能力．