Question

抛物线C₁的方程是（y-2）²=-8（x+2），曲线C₂与C₁关于点（-1，1）对称．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点（8，0）的直线l交曲线C₂于M、N两点，问在坐标平面上能否找到某个定点Q，不论直线l如何变化，总有∠MQN=90°．若找不到，请说明理由；若能找到，写出满足要求的所有的点Q的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）抛物线C₁的方程是（y-2）²=-8（x+2），由曲线C₂与C₁关于点（-1，1）对称．设抛物线C₁上任意一点（x，y）在曲线C₂上的对称点为M（m，n），则有：

x+m

2

=-1，

y+n

2

=1，由此能求出C₂的方程．
（Ⅱ）设过点（8，0）的直线l的方程为y=k（x-8），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y2=8x y=k(x-8)

，得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，由此解得x₁x₂+y₁y₂=0．所以在坐标平面上能定点Q（0，0），不论直线l如何变化，总有∠MQN=90°．

解答：解：（Ⅰ）抛物线C₁的方程是（y-2）²=-8（x+2），
∵曲线C₂与C₁关于点（-1，1）对称．
设抛物线C₁上任意一点（x，y）在曲线C₂上的对称点为M（m，n），
则有：

x+m

2

=-1，

y+n

2

=1，
整理可得：x=-（2+m）；y=2-n，代入抛物线C₁得：
（2-n-2）²=-8（-2-m+2），
整理得：（-n）²=-8（-m），
n²=8m，
因此C₂的方程是y²=8x．
（Ⅱ）存在，仅一点（0，0）．
设过点（8，0）的直线l的方程为y=k（x-8），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y2=8x y=k(x-8)

，得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，
∴x1+x2=

16k2+8

k2

，x₁x₂=64，
∴y₁y₂=（kx₁-8k）（kx₂-8k）
=k2x1x2-8kx2-8kx1+64k2
=-64，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴在坐标平面上能定点Q（0，0），不论直线l如何变化，总有∠MQN=90°．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足要求的所有的点Q的坐标的求示．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．