Question

如图，已知抛物线C₁的方程是y=ax²(a＞0)，圆C₂的方程是x²+(y+1)²=5，直线l：y=2x+m(m＜0)是C₁，C₂的公切线，F是C₁的焦点，
(1)求m与a的值；
(2)设A是抛物线C₁上的一动点，以A为切点作C₁的切线交y轴于点B，若，则点M在一定直线上，试证明之。

Answer 1

解：(1)由已知，圆C₂的圆心为C₂(0，-1)，半径，
由题设圆心C₂到直线l：y=2x+m(m＜0)的距离d=，
解得m=-6(m=4舍去)．
设l与抛物线C1相切的切点为A₀(x₀，y₀)，
又y′=2ax，得2ax₀=2，
所以，
代入直线方程，得，解得，
所以m=-6，。
(2)由(1)知抛物线C₁的方程为，焦点为，
设，
由(1)知以A为切点的切线方程为，
令x=0，得点B的坐标为，
则，，
所以=(x₁，-3)，
设M(x，y)，
则=(x₁，-3)，
所以，即M点在定直线上。