题目内容

已知（x- $数学公式$ ）ⁿ的展开式中所有二项式系数的和为512，则展开式中x³项的系数为 ________

-84
分析：首先分析题目已知（x- $\text{[math]}$ ）ⁿ的展开式中二项式系数的和为512，求展开式中x³项的系数．因为由二项式性质可直接得到二项式系数和为2ⁿ，故可求出n的值，再列出二项式的通项，求出x³项为第几项，代入通项求出系数即可得到答案．
解答：因为根据二项式性质（x- $\text{[math]}$ ）ⁿ的展开式中所有二项式系数和为2ⁿ
故由已知得2ⁿ=512 故n=9
又展开式中二项式的通项为 $\text{[math]}$ =（-1）^9-kC₉^kx^2k-9
故展开式中x³项为2k-9=3，即k=6，则系数为（-1）^9-3C₉³=-84
故答案为：-84．
点评：此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到展开式中二项式的通项的求法，此类题目在高考中多以选择填空的形式出现，一般考查的都是比较简单的概念性问题，同学们需要掌握．